Fiches de revisions Maths
Polynomes
Definitions
Les polynomes sont en gros des suites finis (qui finissent par ne valoir plus que 0) de nombres: par exemple ceci est un polynomes:
On le note plutot en utilisant l’indeterminee:
On a alors les proprietes suivantes:
L’on dit d’un polynomes qu’il est unitaire si son coefficient dominant vaut
.
Un polynome est scindee sur
si on peut l’ecrire comme:
ou
sont les racines de multiplicites respective
Deux polynomes
et
sont associes si
et
Un polynome est dit irreductible si il admet exactement deux diviseurs unitaires !
Degres
Soient P et Q deux polynomes de
:
Theoremes
Theoreme d’Alembert-Gauss: Tout polynomes non-constant de
est scindee
Theoreme de Bezout: Soient
alors
si et seulement si il existe
tel que
Algorithme d’euclide: Il sert a determiner le PGCD de deux polynomes
: on divise euclidiennement
par
, puis on divise
par le reste de la division precedente, puis si le resultat est une constante c’est bon on a finis.
Continuite
Definitions
voisinage Un voisinage d’un nombre est un interval qui contient le nombre et des nombres autour (des deux cotes), globalement un voisinage d’un reel
est
ou
L’interieur d’un ensemble
est carcterise par:
L’adherence d’un ensemble
est caracterise par:
Une fonction
est dite continue en un point
si:
Attention ! certaines fonction ont des trous mais sont quand memes continues sur leur ensemble de definition !
Caracterisation des differentes formes de limites pour une fonction
, soit
et
Theoremes et resultats de cours
Prop: Soit
et
. Alors
appartient a
si et seulement si il existe une suite d’element de
qui converge vers
Caracterisation sequentielle: Soit
et
,
admet pour limite
en
si et seulement si, pour toute suite
d’elements de
qui tends vers
, la suite
tends vers